Método de Gauss-Jordan

Método de Gauss-Jordan Como hemos visto, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria (a= 0 para cualquier i≠j=0 )

Veamos el método de Gauss-Jordan siguiendo con el ejemplo empleado en el apartado anterior. Aplicando el método de Gauss habíamos llegado a la siguiente ecuación:

Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el método de Gauss.

Tomaremos como pivote el elemento a4 4/-3; multiplicamos la cuarta ecuación por y la restamos a la primera:

Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2, multiplicamos la tercera ecuación por 2/2=1 y la restamos a la primera:

Repetimos la operación con la segunda fila:

Finalmente, tomamos como pivote a22=-4, multiplicamos la segunda ecuación por -2/-4 y la sumamos a la primera:

El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fácil de resolver. Empleando la ecuación (46) obtenemos las soluciones:

Aplicaciones: Desigualdades lineales

Aplicaciones: Desigualdades lineales


En general, las aplicaciones directas de los sistemas de ecuaciones lineales no son fáciles de encontrar. Sin embargo, varios problemas interesantes están directamente relacionados con este tipo de sistemas. Un caso interesante es el de minimizar una función de costo relacionada con un conjunto de desigualdades lineales. El siguiente ejemplo ilustra la situación:
Ejemplo: Una compañía maderera tiene dos talleres que producen tableros y cada taller produce tres tipos de tableros iguales. El problema es hallar el número de días que deberá operar cada taller durante seis meses para proporcionar de la manera más económica los tableros requeridos.

Análisis: Si el taller 1 opera x días y el taller 2 opera y días, entonces el costo es
C = 3 000 x + 2 000 y
Pero este costo está sujeto a las restricciones

100 x + 20 y £ 2000
40x + 80y £ 3200
60x + 60y £ 3600
x + y £ 1800

Desigualdades que Envuelven Dos Posibles Soluciones (Valor Absoluto), Desigualdades Cuadráticas

Hay desigualdades que envuelven dos posibles soluciones, una positiva y otra negativa. Ejemplo 5) Resolver 10x - 2 9
· 10x - 2 -910x -9 +210x -710x/10 -7/10x -7/10

· 10x - 2 910x 9 + 210x 1110x/10 11/10x 11/10
Ejemplo 6) Resolver: x-3 ≤ 2
Solución: usando la segunda propiedad de las desigualdades y los valores absolutos , puede describirse la desigualdad original como la desigualdad doble.
-2 ≤ x - 3 ≤ 2 Escribir como desigualdad doble
-2 + 3 ≤ x - 3 + 3 ≤ 2 + 3 Sumar 3
1 ≤ x ≤ 5 Simplificar
El conjunto solución de la desigualdad original es [1,5].



Desigualdades Cuadráticas
Ejemplo 7) Resolver: x2 < x+6

Solución:
x2 < x + 6 Desigualdad original
x2 - x - 6 < 0 Escribir en forma usual
(x – 3)(x + 2) < 0 Factorizar
El polinomio x2 - x - 6 tiene los ceros x = -2 y x = 3, por tanto tiene los intervalos prueba (-∞,-2),(-2,3) y (3,∞).
La solución de la desigualdad original es (-2, 3).

Desigualdades Lineales, Cuadráticas y de Valor Absoluto.

Desigualdades Lineales, Cuadráticas y de Valor Absoluto.
Desigualdades Lineales
Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los signos de desigualdad son . Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver las siguientes desigualdades:
Ejemplo 1) Resolver: 3 > x - 8.
Sumando la misma cantidad a ambos lados:
3 > x - 8
3 + 8 > x - 8 + 8
11 > x
x < 11
El conjunto solución es: (-∞, 11).
Ejemplo 2) Resolver: 2x-5 < 7

Solución:
2x-5 < 7 desigualdad original
2x-5+5 < 7+5 sumar 5 a ambos miembros
2x < 12 simplificar
½ (2x) < ½ (12) multiplicar a ambos miembros por ½
x < 6 simplificar
El conjunto solución es: (-∞, 6).

Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un número negativo, el signo de desigualdad cambia.Ejemplo 3)
Ejemplo 4) Resolver: -3 ≤ 2-5x ≤ 12

Solución:
-3 ≤ 2-5x ≤ 12 Desigualdad original
-3-2 ≤ 2-5x-2 ≤ 12-2 restar 2
-5 ≤ -5x ≤ 10 Simplificar
- (1/5) (-5) ≥ - (1/5) (-5x) ≥ - (1/5) (10) Multiplicar a ambos miembros por –(1/5) e invertir ambas . desigualdades.
1 ≥ x ≥ -2 Simplificar
El conjunto solución es [-2,1].

Desigualdades

Inecuaciones lineales:
Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incónita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco.

















Ejemplo ilusrativo1: