MATEMATICAS 1

Ing. Armando Sanchez
Repaso General de Algebra

viernes, 28 de noviembre de 2008

Método de Gauss-Jordan

Método de Gauss-Jordan Como hemos visto, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria (a= 0 para cualquier i≠j=0 )
Veamos el método de Gauss-Jordan siguiendo con el ejemplo empleado en el apartado anterior. Aplicando el método de Gauss habíamos llegado a la siguiente ecuación:


Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el método de Gauss.
Tomaremos como pivote el elemento a4 4/-3; multiplicamos la cuarta ecuación por y la restamos a la primera:

Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2, multiplicamos la tercera ecuación por 2/2=1 y la restamos a la primera:

Repetimos la operación con la segunda fila:

Finalmente, tomamos como pivote a22=-4, multiplicamos la segunda ecuación por -2/-4 y la sumamos a la primera:



El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fácil de resolver. Empleando la ecuación (46) obtenemos las soluciones:

Aplicaciones: Desigualdades lineales

Aplicaciones: Desigualdades lineales


En general, las aplicaciones directas de los sistemas de ecuaciones lineales no son fáciles de encontrar. Sin embargo, varios problemas interesantes están directamente relacionados con este tipo de sistemas. Un caso interesante es el de minimizar una función de costo relacionada con un conjunto de desigualdades lineales. El siguiente ejemplo ilustra la situación:
Ejemplo: Una compañía maderera tiene dos talleres que producen tableros y cada taller produce tres tipos de tableros iguales. El problema es hallar el número de días que deberá operar cada taller durante seis meses para proporcionar de la manera más económica los tableros requeridos.




Análisis: Si el taller 1 opera x días y el taller 2 opera y días, entonces el costo es
C = 3 000 x + 2 000 y
Pero este costo está sujeto a las restricciones

100 x + 20 y £ 2000
40x + 80y £ 3200
60x + 60y £ 3600
x + y £ 1800

Desigualdades que Envuelven Dos Posibles Soluciones (Valor Absoluto), Desigualdades Cuadráticas

Hay desigualdades que envuelven dos posibles soluciones, una positiva y otra negativa. Ejemplo 5) Resolver 10x - 2 9
· 10x - 2 -910x -9 +210x -710x/10 -7/10x -7/10

· 10x - 2 910x 9 + 210x 1110x/10 11/10x 11/10
Ejemplo 6) Resolver: x-3 ≤ 2
Solución: usando la segunda propiedad de las desigualdades y los valores absolutos , puede describirse la desigualdad original como la desigualdad doble.
-2 ≤ x - 3 ≤ 2 Escribir como desigualdad doble
-2 + 3 ≤ x - 3 + 3 ≤ 2 + 3 Sumar 3
1 ≤ x ≤ 5 Simplificar
El conjunto solución de la desigualdad original es [1,5].



Desigualdades Cuadráticas
Ejemplo 7) Resolver: x2 < x+6

Solución:
x2 < x + 6 Desigualdad original
x2 - x - 6 < 0 Escribir en forma usual
(x – 3)(x + 2) < 0 Factorizar
El polinomio x2 - x - 6 tiene los ceros x = -2 y x = 3, por tanto tiene los intervalos prueba (-∞,-2),(-2,3) y (3,∞).
La solución de la desigualdad original es (-2, 3).

Desigualdades Lineales, Cuadráticas y de Valor Absoluto.

Desigualdades Lineales, Cuadráticas y de Valor Absoluto.
Desigualdades Lineales
Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los signos de desigualdad son . Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver las siguientes desigualdades:
Ejemplo 1) Resolver: 3 > x - 8.
Sumando la misma cantidad a ambos lados:
3 > x - 8
3 + 8 > x - 8 + 8
11 > x
x < 11
El conjunto solución es: (-∞, 11).
Ejemplo 2) Resolver: 2x-5 < 7

Solución:
2x-5 < 7 desigualdad original
2x-5+5 < 7+5 sumar 5 a ambos miembros
2x < 12 simplificar
½ (2x) < ½ (12) multiplicar a ambos miembros por ½
x < 6 simplificar
El conjunto solución es: (-∞, 6).

Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un número negativo, el signo de desigualdad cambia.Ejemplo 3)
Ejemplo 4) Resolver: -3 ≤ 2-5x ≤ 12

Solución:
-3 ≤ 2-5x ≤ 12 Desigualdad original
-3-2 ≤ 2-5x-2 ≤ 12-2 restar 2
-5 ≤ -5x ≤ 10 Simplificar
- (1/5) (-5) ≥ - (1/5) (-5x) ≥ - (1/5) (10) Multiplicar a ambos miembros por –(1/5) e invertir ambas . desigualdades.
1 ≥ x ≥ -2 Simplificar
El conjunto solución es [-2,1].

Desigualdades

Inecuaciones lineales:
Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incónita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco.

















Ejemplo ilusrativo1:




















































































jueves, 16 de octubre de 2008

20/sep/08 metodo grafico y ecuaciones



Y= mx+b

F(x)= mx+b
Pendiente, ordenada al origen


Linea Recta

Ej y=2x+3

Y=2(0)+3=3
Y=2(1)+3=5
Y=2(2)+3=7
Y=2(3)+3=9
Y=2(-1)+3=1
Y=2(-2)+3=-1
Y=2(-3)+3=1

Pa=(0,3)
Pb=(1,5)
Pc=(2,7)
Pd=(-1,1)
Pe=(-2,-1)



FALTA GRAFICA 1





Toda forma
y=mx+b y=-x+3

Eje. Y=3x+1
Y=x+1


Graficar y=-x+3

Y=-(0)+3=3
Y=-(1)+3=2
Y=-(2)+3=1
Y=-(3)+3=0
Y=-(-1)+3=4
Y=-(-2)+3=5
Y=-(-3)+3=6




FALTA GRAFICA 2

F(X)= -X

lunes, 22 de septiembre de 2008

primer grafica y=2x+3

y=mx+b

f(x)=mx+b



Linea recta
eje. y=2x+3


y=2(0)+3=3
y=2(1)+3=5
y=2(2)+3=7
y=2(-1)+3=1
y=2(-1)+3=-1

=-4x+3=1
Pa=(0,3)
Pb=(1,5)
Pc=(2,7)
Pd=(-1,1)
Pe=(-2,-1)









Unidad 2 (Ecuaciones Lineales, Plano Cartesiano Y metodo grafico)

sábado, 13 de septiembre de 2008

REPRESENTACION GRAFICA

Un obrero gana $20.00 pesos por hora.Hayar la grafica del salario en funcion del tiempo.

Sobre el eje de las 'x' senalamos el tiempo 4 divisiones representan 1 hora y el eje 'y' el salario, cada division gana $20.00 pesos; determinamos el punto 'A' que marca el valor del salario, para una hora y como el salario es proporcional al tiempo, la grafica tiene q ser una recta que toque el origen.
UnimosA con cero y la recta 'OM' es la grafica del salario esta tabla grafica el valor del salario para cualquier numero de horas.Para saber el salario correspodiente a un tiempo dado no hay mas que leer el valor de la ordenada para ese valor de la abcisa. Asi se determine en dos horas el salario es de $40.00 pesos. En dos horas y cuarto $45.00 pesos en 3 hrs $60.00 pesos, en 3:45 hrs/min $75.00 pesos.




PLANO CARTESIANO (Distancia entre dos putos)

Pa= (4,2)

Pb=(5,3)

d2= √(x2-x1)2+(y2-y1)2

d= √(5-4)2+(3-2)2

d=√(1)2+(1)2

d=√2

d= 1.41

PLANO CARTESIANO



RESOLUCION DE EC. FRACCIONARIAS CON DENOMINADORES

EJEMPLO 1
3x-2x/5=x/10-7/4
30x-4x-x//10=-7/4
10/1=10x3=30
10/5=2x2=4
10/10=1x1=1
25x=(-7/4)(10)
25x=-70/4
x=-70/4
25/1
x=-7/10


EJEMPLO 2
2x-1/3-x+13/24=3x+5(x+1)/8
2x/3-1/3-x/24-13/24=3x/1+5x/8+5/8
2x/3-x/24-3x/1-5x/8=5/8+1/3+13/24
24/3=8x2=16
24/24=1x1=1
24/1=24x3=72
24/8=3x5=15
24/8=3x5=15
24/3=8x1=8
24/24=1x3=13
16x-x-72x+15x=15+8+13
-72x=36
x=-36/72
x=-18/36
x=-9/18
x=-1/2

METODO DE ELIMINACION

2a+4b=10
3a-2b=16

ELIMINACION
4(3a-2b=16)
12a-8b=64
2(2a+4b=10)
4a+8b=20
12a-8b=64
4a+8b=20
_________
16a=84
a=84/16
a=42/8
a=21/4

DE LA ECUACION 1
2(21/4)+4b=10
42/4+4b=10
4b=10-42/4
4b=10-4/2
4b=20-21
2
4b=-1/2
b=-1/2
4
b=-1/8

METODO DE SUSTITUCION

2a+4b=10
3a-2b=16
2a=10-4b
a=10-4b
2

SUSTITUCION EN ECUACION 2
3(10-4b//2)-2b=16
30/2-12b/2-2b=16
15-6b-2b=16
-8b=16-15
b=-1/8

EN ECUACION 3
a=10-4(-1/8)
2
a=10+4/8
2
a=10+1/2
2
a=21/2
2
a=21/4

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2a+4b=10
3a-2b=16
2a=10-4b
a=10-4b
2
3a=16+2b
a=16+2b
3
Ecuacion 3 y Ecuacion 4
10-4b=16+2b
____ _____
2 3
30-12b=32+4b
-16b=2
b=-2
___
16
b=-1
__
8
a=10-(-1/8)
______
2
a=10+1/2
______
2
a=20+1
_______
2
______
2
a=21
__
2
_____
2
__
1

COMPROBACION ECUACION 1
2(21/4)+4(-1/8)=10
42/4-4/8=10
21/2-1/2=10
10=10
3(21/4)-2(-1/8)=16
63/4+2/8=16
63/4+1/4=16
64/4=16
16=16

jueves, 4 de septiembre de 2008

Sistema de Ecuaciones 2x2

Ecuaciones.-

2x+3y= 10 ..... ec.1
4x+y = 5 ......ec.2

1.- Despejar x de la ec. 1
2x=10-3y
x=10-3y/2...... ec.3

2.- Despejar x de la ec. 2
4x=5-y
x=5-y/4 .....ec.4

3.-ec. 3 y 4 igualacion
10-3y/2=5-3y/4

4(10-3y)=2(5-y)
40-12y=10-2y
-12y+2y=10-40
-10y=-30
y=-30/-10
y=3

4.- toma ec. 3
x=10-3(3)/2
x=10-9/2
x=1/2

miércoles, 3 de septiembre de 2008

Programa (clase 3 de septiembre de 2008)

Programa Sintetico


Unidad 1.- Numeros reales y los sistemas numericos
Unidad 2.- Sistemas de ecuaciones
Unidad 3.- Matrices
Unidad 4.- Desigualdades

Binomio al cubo.-

(-3a2b2c3-2C3)3=
(-3a2b2c3)3+3(-3a2b2c3)2(2C3)+3(-3a2b2c3)(2C3)2+(2C3)3
=-27 a6b6c9+3(-9a4b4c6)(-2C3)+3(-3a2b2c3)(4c3)+8c9
=-27a6b6c9+54a4b4c9-36a2b2c9-8c9
Ecuaciones Lineales:
3x+3=x+1
3x-x=1-3
2x=-2
x=-2/2
X=-1
Binomios al cubo.-
(2a+3b)3
=(2a)3+3(2a)2(3b)+3(2a)(3b)2+(3b)3
=8a3+3(4a2)(3b)+3(2a)(9b2)+27b3
=8a3+36a2b+54ab2+27b3
(4x-2y)3
=(4x)3+3(4x)2(-2y)+3(4x)(-2y)2+(-2y)3
=64x3-3(16x2)(-2y)+3(4x)(4y2)+8y3
=64x3-96x2y+48xy2-8y3
Ecuaciones Lineales.-
6x-5=2x+7
6x-2x=5+7
4x=12
x=12/4
x=3
7x-45=5x-37
7x-5x=45-37
-2x=8
x=8/-2
x=-41
sumas binaria.-
La suma binaria se puede realizar cómodamente siguiendo las tres reglas descritas: 1º Si el número de unos (en sentido vertical) es par el resultado es 0. 2º Si el número de unos (en sentido vertical) es impar el resultado es 1. 3º Acarreo tantos unos como parejas (completas) de números 1 haya.
Por ejemplo:
Hay que sumar 1010 (que en decimal es 10) y 1111 (que en decimal es 15).
1010
1111
11001
(que en decimal son 25).
resta binaria.-
Las cuatro reglas básicas para la resta de números binarios son:
0 - 0 = 0
1 – 1 = 0
1 – 0 = 1
0 – 1 = 1 ( con acarreo negativo de 1)
Al restarse números algunas veces se genera un acarreo negativo que pasa a la siguiente columna de la izquierda. En binario solo se produce este acarreo cuando se intenta restar 1 de 0 (4ª regla).
Ejemplo sobre esta situación, restar 011 de 101:
101 – 011 = 010
Detalle de la operación:
101
-
011
----------
010
1. en la columna derecha se realiza la resta de 1 – 1 = 0
2. en la columna central se produce un acarreo negativo de 1 a la columna siguiente (4ª regla) que da lugar a 10 en esta columna, luego 10 -1 = 1 con acarreo de 1 a la siguiente columna
3. en la columna izquierda, se resta 1 del acarreo producido en la anterior columna y da como resultado 0, luego se resta 0 – 0 = 0
Multiplicacion Binaria.-
La multiplicación binaria es tan sencilla como la decimal, y es que funcionan de la misma manera. Aquí tienen un ejemplo de multiplicación binaria. Supongamos que multipliquemos 10110 por 1001:
10110
1001
-------------
10110
00000
00000
-------------
11000110
Vamos multiplicando por cada dígito de 1001 el conjunto 10110 y luego procedemos a hacer la suma.
Hay otro tipo de procedimientos para realizar esta multiplicación sin signo y es el llamado "Multiplicación por el método de Suma-Desplazamiento".
Division Binaria.-
Reglas de la división binaria: 0/0 no permitida, 1/0 no permitida,0/1=0, 1/1=1 .
División: Se hace igual como el sistema decimal.
Ejemplo de división binaria: En este ejemplo, hay que comenzar cogiendo 4 cifras del dividendo para sobrepasar al divisor. Así resulta que 1011 entre 111 toca a 1 (solo puede ser 1 o 0). 1 por 111 es 111 y falta 100 hasta llegar a 1011. Bajando la siguiente cifra (un 0) resulta que 1000 entre 111 toca a 1.
suma hexadecimal.-

El sistema numérico hexadecimal utiliza dieciséis dígitos y letras para representar cantidades y cifras numéricas. Los símbolos son: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}; la base del sistema es dieciséis (16). También se puede convertir directamente en binario como se verá más adelante. En la tabla 1.1 se muestran los primeros veintiuno números decimales con su respectiva equivalencia binaria, octal y hexadecimal.
FCA15
-879BD
_______
78642
+ 1
______
78644
FCA15
------
*75059

martes, 2 de septiembre de 2008

DEFINICIONES



Teorema de binomios al cuadrado:

es el cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo
(a+b)^2=(a+b)*(a+b)=a*a+a*b+b*a+b*b=a.

Trinomio:
En algebra, un trinomio es un polinomio con tres términos: la suma de tres monomios.

Polinomio:
En matematicas un polinomio es una expresion algebraica que se construye por una o más variables, usando solamente las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos.

Leyes de los Exponentes:

EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS
El producto de un número real que se multiplica por sí mismo se denota por
a x a ó aaa, a x a x a ó aaa.
Para simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada, tal que:
a x a = a2, a x a x a = a3, a x a x a x a x a = a5
Donde a es llamada base y el número escrito arriba y a la derecha del mismo, es llamado exponente.

Binomio al Cubo:

"El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triple del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda"
"El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda"


eje: (pt)3+3(pt)2(st)+3(pt)(st)2+(st)3

viernes, 29 de agosto de 2008

REPASO GENERAL DE ALGEBRA

Tema :1

Factorizacion

X2 +12X+36

1.- Raiz a X2 =X

2.- Raiz a 36=6

(X+6)(x+6)



Binomio al cuadrado

(X+6)2

=( )2 +2( )( )+( )2

= (X)2+2(x)(6)+(6)2

= X2+12X+36

Que es igual a
(x+6)2


ejercicio:
2x(x+6)= 2x=2
(x+6) 2

Ax+Bx+C=0 x2+12x+36
X=-12+ √b2-4ac

X=-12+ √(12)2-4(1)(36)
X=-12+ √144-144
2
X=-12+0
2
X1=-12 = -6
2
X2=-12-0= 6
2

Y=X2














Suma y resta:

Signos diferentes se restan y se coloca el signo del numero mayor signos iguales se suman y queda el mismo signo.


Simplificación de términos:
Reduccion de Terminos
(2a+3b-4c)-(a-4b+6c)
2a+3b-4c-a-4b+6c
a+7b-10c

Leyes de exponentes:

b0=1 cualquier exponente elevado a la cero es 1
b1=b b2=b2-1=b1=b
b1.b1=b2
bm =bm-n
bn